Imágen de una Función

Se llama imagen o recorrido de una función, y se designa Im f, a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en él por la función.

Salto Infinito

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:
 Lim  f(x) = L  

   x→a -

                                     Discontinuidad de salto Infinito

 Lim f(x) = L
   x→a+               

Función a Trozos

En matemáticas, una función definida a trozos (también conocida como función por partes) es una función cuya definición (la regla que define la dependencia) cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios). as funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a un subdominio (intervalo).

Significados de Finitos

En matemáticas, un conjunto finito es un conjunto que tiene un número finito de elementos. Por ejemplo {2, 4, 6, 8, 10} es un conjunto finito con cinco elementos. La cardinalidad o número de elementos de un conjunto finito es igual a un número natural. 

Si un conjunto no es finito, entonces es infinito. Por ejemplo, el conjunto N = {1, 2, 3, ...} de los números naturales es infinito. Todo conjunto finito es un conjunto numerable, puesto que sus elementos pueden contarse, pero la recíproca es falsa: existen conjuntos numerables que no son finitos (como el propio N).

Condiciones para que se cumpla la Continuidad

Ya conociendo los conceptos de existencia de un límite y el concepto de definición de la función en un valor determinado de x, fácilmente se puede construir el concepto de continuidad. 

Una función es continua en un punto ( x = a ), si: 

Condiciones que se tienen que cumplir: 

f(a) está definida x = a tiene que ser un punto que se encuentra en el dominio de la función 

El límite de la función cuando x tiende a "a" tiene que existir. lim x→a f(x) = L para que el límite cuando x tienda a "a" exista, tienen que existir los límites por laterales: lim x→a + f(x) y lim x→a – f(x) ; lo cual quiere decir, que los valores de los límites tienen que ser iguales: 

lim x→a + f(x) = L 

lim x→a – f(x) =L, por lo tanto, el límite lim x→a f(x) =L, y EXISTE: 

lim x→a f(x) = f(a), Esto sólo se da, si: f(a) = L y lim x→a f(x) =L tienen el mismo valor numérico.

Estas tres condiciones se tienen que cumplir, si alguna de ellas no se cumple, entonces la función no es continua. Así, se puede empezar a hacer el estudio de continuidad con la condición 1), si no se cumple ya no hay necesidad de seguir probando las otras condiciones. 

Si no se cumple alguna de las condiciones, se dice que la función no es continua o es discontinua en el punto x = a. 

Ahora; f (x) es continua en un intervalo, si f (x) es continua en todos los puntos del intervalo. 

Intervalo

Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponden con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real. Según incluyan o no a los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.

Límites Laterales desde la Derecha

Considere el lector la función y = f(x)     y = f(x) que aparece representada a la izquierda de este texto. Observe que la función está definida sobre el intervalo abierto(a,∞)     (a,∞). En particular no está definida para x = a    x = a,lo cual está indicado en la gráfica por un pequeño círculo azul con relleno blanco situado al extremo izquierdo de la curva, justo sobre el valor      x = a      x = a

Así pues, no podemos decir cuánto vale la función en el punto a. Sin embargo, podemos observar que cuando nos acercamos por la derecha con las x al valor a, los valores de la función se van acercando a L. Esto puede apreciarse fácilmente en la gráfica interactiva de la izquierda. Pruebe el lector acercando lentamente la flecha naranja hacia a por la derecha y verá que la flecha azul termina acercándose a L.

Límites Laterales desde la Izquierda

El concepto de límite por la izquierda es completamente similar al límite por la derecha, solo que la variable x se acerca al valor a por la izquierda, es decir, con valores que son menores a a. Considere el lector la función y = f (x) y = f (x) cuya gráfica acompaña este texto. 

Observe que el dominio de esta función es el intervalo abierto (-∞,a) (-∞,a), es decir que la función no está definida ni para        x = a x = a ni para ningún valor superior a éste.

Por lo tanto, como en el caso anterior, no podemos decir cuánto vale la función en el punto a. Sin embargo, podemos observar que cuanto más nos acercamos con las x por la izquierda al valor a, más se van acercando los valores de la función al valor L. Esto puede apreciarse fácilmente en el programa interactivo de la izquierda. Pruebe el lector acercando por la izquierda lentamente la flecha naranja hacia a y verá que la flecha azul termina acercándose a L.

Ecuación

En matemáticas, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

                                   3x - 1    =     9x - x

La variable X representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta. 

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es: 

                                              x = 5

Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y decimos que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la expresión se llama identidad.

Qué es una Función

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

Valor Absoluto

En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3. 

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Igualdad

En el campo de la matemática, una igualdad es una equivalencia de dos expresiones o cantidades. Estos factores, para ser iguales, deben tener el mismo valor. Por ejemplo: A+B = C+D se cumple si A=2, B=3, C=4 y D=1, entre otros casos. De este modo, 2+3 es igual a 4+1. Ambas expresiones tienen el mismo valor por resultado (5).

Desigualdad

Una desigualdad matemática es una relacion matematica, donde el resultado no es un numero como en el caso de las ecuaciones o igualdades matemáticas, sino que definen un campo de números, es decir un espacio en la recta numerica donde todos esos números cumplen con la condicion

ejemplo:

3 < x < 5 

denota todas las x (numeros) que esten comprendidos entre el 3 y el 5

si se lo define dentro de los números Enteros la respuesta seria 4, pero si se los define dentro de los números Reales, la respuesta seria un infinito grupo de números como el 3.1, 3.2, 3.7, 4.5, y todos los decimales o fraccionarios que se puedan imaginar que cumplan con la regla de estar entre los dos extremos en este caso el 3 y el 5.

Identidad

 En matemáticas, una identidad es la constatación de que dos objetos que se escriben matemáticamente diferente son de hecho el mismo objeto. En particular, una identidad es una igualdad entre dos expresiones que es cierta sean cuales sean los valores de las distintas variable empleadas. Las identidades suelen utilizarse para transformar una expresión matemática en otra equivalente, particularmente para resolver una ecuación. 

Función Continua

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

Función Discontinua

Las funciones discontinuas son aquellas que en algún punto de su dominio, el límite por ambos lados del punto es distinto. De manera más vulgar, son aquellas funciones que están cortadas, y que cuando uno las dibuja, tiene que “levantar el lápiz”. Cabe notar que existen varias funciones en las cuales se tiende a pensar en un comienzo que son discontinuas, pero lo que ocurre es que el punto que se evalúa no pertenece al dominio de la función. Un ejemplo de esto es la siguiente función: 

f(x)=(x+2)/(x-3) 

Comúnmente se cree que la función no es continua en x=3, pero en realidad el 3 no pertenece al dominio de la función. 

Funciones Hiperbólicas

Se llaman funciones hiperbólicas, porque de alguna manera tienen propiedades similares a las funciones trigonométricas y se relacionan con la hipérbola en la forma en la que las funciones circulares (funciones trigonométricas) se relacionan con el círculo. La siguiente es una lista de algunas relaciones fundamentales entre las funciones hiperbólicas:

senh (-x) = -senh (x)

cosh (-x) = +cosh (x)

cosh2x - senh2x = 1

sech2x + tanh2x = 1

coth2x - cosech2x = 1

Conjunto de funciones definidas de la siguiente manera: 

seno hiperbólico: 

senh x = (1/2) (ex - e-x)

coseno hiperbólico: 

cosh x = (1/2) (ex + e-x)

tangente hiperbólica: 

tanh x = senh x / cosh x 

cotangente hiperbólica: 

coth x = 1 / tanh x 

secante hiperbólica:

sech x = 1 / cosh x 

cosecante hiperbólica:

cosech x = 1 / senh x 

Funciones Trascedentales

Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinominal cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación. En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y extracción de raíces. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable. 

Integrales y Aplicaciones

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumando, infinitamente pequeños. 

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Números Reales

En matemáticas, los números reales (designados por R) incluyen tanto a los números reales (positivos y negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas.

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático forma.

Aplicaciones de las Derivadas

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. 

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial. 

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.

Continuidad

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

Límite

En matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo(especialmente en análisis real y matemática) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

Números Irracionales

En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción (m/n), donde (m) y (n) son enteros, con (n) diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Es cualquier número real que no es racional.

Números Racionles

En matemáticas, se llama número racional a todo números que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien (Q), en blackboard bold) que deriva de «cociente» (Quotienten varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (Z), y es un subconjunto de los números reales (R).