Condiciones para que se cumpla la Continuidad

Ya conociendo los conceptos de existencia de un límite y el concepto de definición de la función en un valor determinado de x, fácilmente se puede construir el concepto de continuidad. 

Una función es continua en un punto ( x = a ), si: 

Condiciones que se tienen que cumplir: 

f(a) está definida x = a tiene que ser un punto que se encuentra en el dominio de la función 

El límite de la función cuando x tiende a "a" tiene que existir. lim x→a f(x) = L para que el límite cuando x tienda a "a" exista, tienen que existir los límites por laterales: lim x→a + f(x) y lim x→a – f(x) ; lo cual quiere decir, que los valores de los límites tienen que ser iguales: 

lim x→a + f(x) = L 

lim x→a – f(x) =L, por lo tanto, el límite lim x→a f(x) =L, y EXISTE: 

lim x→a f(x) = f(a), Esto sólo se da, si: f(a) = L y lim x→a f(x) =L tienen el mismo valor numérico.

Estas tres condiciones se tienen que cumplir, si alguna de ellas no se cumple, entonces la función no es continua. Así, se puede empezar a hacer el estudio de continuidad con la condición 1), si no se cumple ya no hay necesidad de seguir probando las otras condiciones. 

Si no se cumple alguna de las condiciones, se dice que la función no es continua o es discontinua en el punto x = a. 

Ahora; f (x) es continua en un intervalo, si f (x) es continua en todos los puntos del intervalo.