Tarea # 4

Parcial # 1

Taller # 2

Redefinición de Funciones

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes, quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen e dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

Tipos de Continuidad

Continuidad lateral


Continuidad por la derecha f(a) = lim f (x)

x→a+

Continuidad por la izquierda f(a) = lim f (x)

x→a-

Axiomas, Teorías, Propiedades

Axiomas: un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemática se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos. 

Teorías: Una teoría es un sistema lógico deductivo constituido por un conjunto de hipótesis o asunciones, un campo de aplicación y algunas reglas que permitan extraer consecuencias de las hipótesis y asunciones de la teoría. 

Propiedades: 

Las propiedades, son reglas que se obtienen a partir de los axiomas. 

Los axiomas serían:

de cuerpo (asociatividad, conmutatividad, distributividad, existencia de un neutro (tanto multiplicativo como aditivo), existencia de inverso (tanto multiplicativo como aditivo).

de orden (tricotomía un número puede ser solamente: positivo, negativo ó 0) y clausura (si dos números son positivos, la suma de estos y la multiplicación de estos será positiva).

Forma intuitiva o Análisis intuitivo

Es aquel proceso cognitivo que no está sujeto a un previo análisis o deducción lógica, si no que nace de una intuición o percepción sensorial evidente. por lo general, las evocaciones mentales del pensamiento intuitivo no son controlables, pero si nos sirven como base para establecer patrones de conductas concretos.

Imágen de una Función

Se llama imagen o recorrido de una función, y se designa Im f, a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en él por la función.

Salto Infinito

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:
 Lim  f(x) = L  

   x→a -

                                     Discontinuidad de salto Infinito

 Lim f(x) = L
   x→a+               

Función a Trozos

En matemáticas, una función definida a trozos (también conocida como función por partes) es una función cuya definición (la regla que define la dependencia) cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios). as funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a un subdominio (intervalo).

Significados de Finitos

En matemáticas, un conjunto finito es un conjunto que tiene un número finito de elementos. Por ejemplo {2, 4, 6, 8, 10} es un conjunto finito con cinco elementos. La cardinalidad o número de elementos de un conjunto finito es igual a un número natural. 

Si un conjunto no es finito, entonces es infinito. Por ejemplo, el conjunto N = {1, 2, 3, ...} de los números naturales es infinito. Todo conjunto finito es un conjunto numerable, puesto que sus elementos pueden contarse, pero la recíproca es falsa: existen conjuntos numerables que no son finitos (como el propio N).

Condiciones para que se cumpla la Continuidad

Ya conociendo los conceptos de existencia de un límite y el concepto de definición de la función en un valor determinado de x, fácilmente se puede construir el concepto de continuidad. 

Una función es continua en un punto ( x = a ), si: 

Condiciones que se tienen que cumplir: 

f(a) está definida x = a tiene que ser un punto que se encuentra en el dominio de la función 

El límite de la función cuando x tiende a "a" tiene que existir. lim x→a f(x) = L para que el límite cuando x tienda a "a" exista, tienen que existir los límites por laterales: lim x→a + f(x) y lim x→a – f(x) ; lo cual quiere decir, que los valores de los límites tienen que ser iguales: 

lim x→a + f(x) = L 

lim x→a – f(x) =L, por lo tanto, el límite lim x→a f(x) =L, y EXISTE: 

lim x→a f(x) = f(a), Esto sólo se da, si: f(a) = L y lim x→a f(x) =L tienen el mismo valor numérico.

Estas tres condiciones se tienen que cumplir, si alguna de ellas no se cumple, entonces la función no es continua. Así, se puede empezar a hacer el estudio de continuidad con la condición 1), si no se cumple ya no hay necesidad de seguir probando las otras condiciones. 

Si no se cumple alguna de las condiciones, se dice que la función no es continua o es discontinua en el punto x = a. 

Ahora; f (x) es continua en un intervalo, si f (x) es continua en todos los puntos del intervalo. 

Intervalo

Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponden con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real. Según incluyan o no a los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.

Límites Laterales desde la Derecha

Considere el lector la función y = f(x)     y = f(x) que aparece representada a la izquierda de este texto. Observe que la función está definida sobre el intervalo abierto(a,∞)     (a,∞). En particular no está definida para x = a    x = a,lo cual está indicado en la gráfica por un pequeño círculo azul con relleno blanco situado al extremo izquierdo de la curva, justo sobre el valor      x = a      x = a

Así pues, no podemos decir cuánto vale la función en el punto a. Sin embargo, podemos observar que cuando nos acercamos por la derecha con las x al valor a, los valores de la función se van acercando a L. Esto puede apreciarse fácilmente en la gráfica interactiva de la izquierda. Pruebe el lector acercando lentamente la flecha naranja hacia a por la derecha y verá que la flecha azul termina acercándose a L.

Límites Laterales desde la Izquierda

El concepto de límite por la izquierda es completamente similar al límite por la derecha, solo que la variable x se acerca al valor a por la izquierda, es decir, con valores que son menores a a. Considere el lector la función y = f (x) y = f (x) cuya gráfica acompaña este texto. 

Observe que el dominio de esta función es el intervalo abierto (-∞,a) (-∞,a), es decir que la función no está definida ni para        x = a x = a ni para ningún valor superior a éste.

Por lo tanto, como en el caso anterior, no podemos decir cuánto vale la función en el punto a. Sin embargo, podemos observar que cuanto más nos acercamos con las x por la izquierda al valor a, más se van acercando los valores de la función al valor L. Esto puede apreciarse fácilmente en el programa interactivo de la izquierda. Pruebe el lector acercando por la izquierda lentamente la flecha naranja hacia a y verá que la flecha azul termina acercándose a L.

Ecuación

En matemáticas, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

                                   3x - 1    =     9x - x

La variable X representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta. 

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es: 

                                              x = 5

Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y decimos que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la expresión se llama identidad.

Qué es una Función

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

Valor Absoluto

En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3. 

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Igualdad

En el campo de la matemática, una igualdad es una equivalencia de dos expresiones o cantidades. Estos factores, para ser iguales, deben tener el mismo valor. Por ejemplo: A+B = C+D se cumple si A=2, B=3, C=4 y D=1, entre otros casos. De este modo, 2+3 es igual a 4+1. Ambas expresiones tienen el mismo valor por resultado (5).

Desigualdad

Una desigualdad matemática es una relacion matematica, donde el resultado no es un numero como en el caso de las ecuaciones o igualdades matemáticas, sino que definen un campo de números, es decir un espacio en la recta numerica donde todos esos números cumplen con la condicion

ejemplo:

3 < x < 5 

denota todas las x (numeros) que esten comprendidos entre el 3 y el 5

si se lo define dentro de los números Enteros la respuesta seria 4, pero si se los define dentro de los números Reales, la respuesta seria un infinito grupo de números como el 3.1, 3.2, 3.7, 4.5, y todos los decimales o fraccionarios que se puedan imaginar que cumplan con la regla de estar entre los dos extremos en este caso el 3 y el 5.