Imágen de una Función

Se llama imagen o recorrido de una función, y se designa Im f, a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en él por la función.

Salto Infinito

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:
 Lim  f(x) = L  

   x→a -

                                     Discontinuidad de salto Infinito

 Lim f(x) = L
   x→a+               

Función a Trozos

En matemáticas, una función definida a trozos (también conocida como función por partes) es una función cuya definición (la regla que define la dependencia) cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios). as funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a un subdominio (intervalo).

Significados de Finitos

En matemáticas, un conjunto finito es un conjunto que tiene un número finito de elementos. Por ejemplo {2, 4, 6, 8, 10} es un conjunto finito con cinco elementos. La cardinalidad o número de elementos de un conjunto finito es igual a un número natural. 

Si un conjunto no es finito, entonces es infinito. Por ejemplo, el conjunto N = {1, 2, 3, ...} de los números naturales es infinito. Todo conjunto finito es un conjunto numerable, puesto que sus elementos pueden contarse, pero la recíproca es falsa: existen conjuntos numerables que no son finitos (como el propio N).

Condiciones para que se cumpla la Continuidad

Ya conociendo los conceptos de existencia de un límite y el concepto de definición de la función en un valor determinado de x, fácilmente se puede construir el concepto de continuidad. 

Una función es continua en un punto ( x = a ), si: 

Condiciones que se tienen que cumplir: 

f(a) está definida x = a tiene que ser un punto que se encuentra en el dominio de la función 

El límite de la función cuando x tiende a "a" tiene que existir. lim x→a f(x) = L para que el límite cuando x tienda a "a" exista, tienen que existir los límites por laterales: lim x→a + f(x) y lim x→a – f(x) ; lo cual quiere decir, que los valores de los límites tienen que ser iguales: 

lim x→a + f(x) = L 

lim x→a – f(x) =L, por lo tanto, el límite lim x→a f(x) =L, y EXISTE: 

lim x→a f(x) = f(a), Esto sólo se da, si: f(a) = L y lim x→a f(x) =L tienen el mismo valor numérico.

Estas tres condiciones se tienen que cumplir, si alguna de ellas no se cumple, entonces la función no es continua. Así, se puede empezar a hacer el estudio de continuidad con la condición 1), si no se cumple ya no hay necesidad de seguir probando las otras condiciones. 

Si no se cumple alguna de las condiciones, se dice que la función no es continua o es discontinua en el punto x = a. 

Ahora; f (x) es continua en un intervalo, si f (x) es continua en todos los puntos del intervalo. 

Intervalo

Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponden con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real. Según incluyan o no a los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.

Límites Laterales desde la Derecha

Considere el lector la función y = f(x)     y = f(x) que aparece representada a la izquierda de este texto. Observe que la función está definida sobre el intervalo abierto(a,∞)     (a,∞). En particular no está definida para x = a    x = a,lo cual está indicado en la gráfica por un pequeño círculo azul con relleno blanco situado al extremo izquierdo de la curva, justo sobre el valor      x = a      x = a

Así pues, no podemos decir cuánto vale la función en el punto a. Sin embargo, podemos observar que cuando nos acercamos por la derecha con las x al valor a, los valores de la función se van acercando a L. Esto puede apreciarse fácilmente en la gráfica interactiva de la izquierda. Pruebe el lector acercando lentamente la flecha naranja hacia a por la derecha y verá que la flecha azul termina acercándose a L.